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浙江省新昌县回山中学九年级数学上册3.3垂径定理课件4(新版)浙教版_数学_初中教育_教育专区

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浙江省新昌县回山中学九年级数学上册3.3垂径定理课件4(新版)浙教版_数学_初中教育_教育专区。垂径定理 定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧. C A M└ ●O 如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B ∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, A⌒D ⌒ =BD.


垂径定理 定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧. C A M└ ●O 如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B ∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, A⌒D ⌒ =BD. D 条件 ①CD为直径 ②CD⊥AB 结论 ③CD平分弦AB ④CD平分弧AB ⑤CD平分弧ADB 想一想 垂径定理的逆命题是什么? 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的 条件 结论1 结论2 两 条弧. 逆命题1:平分弦的直径垂直于弦。 逆命题2:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。 探索规律 ?AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. C ● A ┗M B ●O 过点M作直径CD. D ? 上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? ? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. ?由 ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ②④CDA⌒⊥C=AB⌒BC, , ⑤A⌒D=B⌒D. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下 列五个条件中: ① CD是直径, ④A⌒C=B⌒C, ② CD⊥AB, ⑤A⌒D=B⌒D. ③ AM=BM, 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. C A M└ B ●O D 规律 ① CD是直径, ④A⌒C=B⌒C, ② CD⊥AB, ⑤A⌒D=B⌒D. ③ AM=BM, (3) (1) (2) (4) (5) (2) (3) (1) (1) (4) (4) (5) (3) (2) (5) (1) (5) (3) (4) (2) 命题(1):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并 且平分弦所对的两条弧 命题(2):弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧 命题(3):平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分 弦,并且平分弦所对的另一条弧 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所 对的弧 逆定理 定理1:平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的弧 定理2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 定理1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的弧. 已知:⊙O的直径CD交弦AB(不是直径)于点E,且AE=BE 求证:CD⊥AB,A⌒D=B⌒D,A⌒C=B⌒C. 证明:连结OA,OB,则OA=OB ∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE, ∴CD⊥AB (等腰三角形三线合一) ∴A⌒D=B⌒D,A⌒C=B⌒C (垂径定理) .C O E A B D 请同学们独立证明定理2 辨一辨 (1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧.× (2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过 圆心. √ (3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分. × (4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. × (5)圆内两条非直径的弦不能互相平分. √ (6)平分弦的直径,平分这条弦所对的弧。 ? (7)平分弦的直线,必定过圆心。 ? (8)一条直线平分弦(这条弦不是直径),那么这 条直线垂直这条弦。 ? A C C C OD ?O (1) B A B (2) D ?O A B (3) D (9)弦的垂直平分线一定是圆的直径。 ? (10)平分弧的直线,平分这条弧所对的弦。 ? (11)弦垂直于直径,这条直径就被弦平分。 ? ?O ACB (4) B ?O D C A (5) C ?O A EB D (6) 例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求 桥拱的半径(精确到0.01m). 解:AB表示桥拱,设AB所在的圆的圆心为O, 半径为R,C为AB的中点,连结OC,交AB 于点D. C ∵C是A⌒B的中点, ∴OC⊥AB. ∴OC就是拱高. A D ∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51, R O OD=OC-DC=(R-7.23). 在Rt△OAD中,OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31. 答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m. 练一练 1、已知:如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB<CD,直径MN⊥AB, 垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: . M B E D A O F C N 2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H, EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长. A HM G D BE · F C 0 3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形 铁片,求弓形的弦的长度。 (弓形是圆弧和它所对的 弦围成的图形) 4、已知:AB是⊙O直径,CD是弦,AE⊥CD, BF⊥CD,求证:EC=DF. B O. A EC G D F 5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦 所夹的弧相等 提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: (1)两条弦在圆心的同侧 (2)两条弦在圆心的异侧 F A ●O B A B ●O C D E C D E 垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等 M C D A B A . O O. A E C D B .O N 课堂小结: 解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂 线,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线, 为应用垂径定理创造条件。 1、 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船 舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这 里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?
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